[回覆]數學不好的真正原因！

    當我在跟我好友閒聊時，我好友就將這篇文章與我探討，然而這篇文章問題重重，擁有許多的偏見在裡面，我過目之後有所感觸，遂將自己的淺見發表出來，並且探討數學的看法，其實我是沒有著手這方面的研究，但是我閱覽過相關書籍，藉此討論數學觀念。
    話說有些人很喜歡在各大論壇品頭論足時，總是會報出自己的歷練或成就，好讓自己的言行可性度上升，舉凡膾炙人口的遊戲LOL在討論時，有人就會報出自己鑽石實力，或是白金實力等等，好讓自己的文章有可信度。我覺得這是好事情，我在探討這篇文章時，我也來個自我介紹，我是某國立大學光電科學研究所畢業學生，在高中或國中時代數學屬於名列前茅，換句話說就是你們眼中數學優異的學生。並且在大學或研究所的生涯裡面擔任過微積分助教，對數學非常熱愛。因為做過研究，並寫過論文，如果這篇以論文觀點來看，是很不及格的，我想探討是因為對數學的熱愛，並且跟網友一起討論學生群對數學的看法，就撰寫這篇網誌。

數學不好的真正原因！

    由題目的觀點來看，這篇過份武斷，憑什麼原因可以依照你的見解斷章取義的說你撰寫的文章就是數學不好的真正原因，看過這篇之後，我的感覺是此篇作者想必非常非常有自信，所以我細細分析裡面的觀點，當然結果是讓我失望，我感覺到裡面的見解除了坐井觀天之外，並且錯誤百出，內容更是自圓其說，如果題目為「數學不好的淺見」，或者是「數學不好的探討」會比較好一點。

世界上分為兩種人，一種是數學好的人，一種是數學不好的人。

過去大家提到數學學不好的人，總說因為那些人「邏輯不好」或「無法理解題目意涵」，最好要加強邏輯訓練或增強國語文訓練，而在高中<排列組合>單元中，更是所有老師異口同聲地宣揚：

「許多數學過去不太好的同學，這裡有可能重新洗牌！很有可能把排列組合學的很好哦！」

但結果還是不如人意，幾乎數學真的不好的人，會一直不好。


迷思一：邏輯不好的人就學不好數學嗎？

許多律師、作家、管理決策者都是數學不好的人，但是你能說他們沒有邏輯概念嗎？他們的組織能力常常還超越一般人，而且能做出非常龐大複雜的聯想思考。


迷思二：數學不好的人是因為無法理解題目？

同上述，難道連法律條文、古文、新詩散文都能運用自如的人會看不懂題目？應該是相反吧，一般人就算數學再好，也無法隨便看到一句古文就能馬上理解，說不定連成語都會難倒他們。

迷思三：數學不好的同學是練習太少？

已有證據說明，不論這些數學不好的同學算再多題目，也比不上數學普通的其他人的解題能力。
(編者按：數學不好的人學習方向不對，並盲目學習，所以數學不好。)

數學不好的真正原因是：思考方式不同！

請注意，思考方式跟邏輯無關！而跟想像力的運用有關！

    這個舉例很有問題，你可以冠冕堂皇的說數學不好並非邏輯不好，你也可以冠冕堂皇的說數學不好的人並非無法理解題目，但你居然斷章取義的說數學不好是思考方式不同，並且牽扯到想像力運用有關，你舉例律師、作家、管理決策者邏輯很好，你可以舉例律師懂得理解題目，但你居然解釋數學不好跟想像力的運用運題。這豈不是完全矛盾？
    我可以解釋舉凡小說家或者是畫家都有豐富的想像力運用，並且在自己作品上有獨到的成就，但是他們優異的表現並無法表現在數學上，如此而已。

以最簡單的邏輯數學題目為例：
五支電線桿，在間隔種樹，請問可以種幾棵？
如果頭尾也都種可種幾棵？

數學好的人思考是：

5 - 1= 4（顆）

數學不好的人思考：
「五支電線桿，要間隔種，那就是兩支間會有一棵，那五支電線桿要分成幾個兩支呢？應該是 2 + 2 + 1，應該有算三組吧？不過彼此都相連在一起，所以是不是要哪裡把它加上去？」（思考很久～）


只要你在校的數學程度可以用普通來形容，你一定會覺得「太誇張了吧！哪有這麼難啊！」

是的，所以這種時候，數學不好的人會在紙上畫五根線條，然後算中間有幾個間隔，而發現剛好就是四根，所以應該就是：總數 - 1 吧？
(編者按：解題方面是沒什麼問題，無論數學好壞都是這樣解題。)

頭尾都要種樹呢？

數學好的人思考：
5 + 1 = 6（顆）

數學不好的思考：
「頭尾？總數跟頭尾？前面加上一棵，後面加上一棵，那應該是什麼呢？應該是剛剛那個題目再加上2吧？」
(編者按：請問你說的是中文嗎？)

再不濟，就拿筆在紙上再畫一次～，然後還是算錯或畫錯。
(編者按：這應該是腦袋有問題吧！)

    看到這裡，我完全不了解你的舉例跟想像力有何關連？況且你下面的想像力解釋又跟此題目沒有什麼關連，況且「樣本」的篩選也有所問題，你也沒有對這些問題多做解釋，只是數學好跟數學不好多做比較而已，但是論點呢？以論文的觀點來看，是非常不合格的數據，你完全沒也解釋說為什麼要舉這例子，況且整篇文章也沒有做這例子的結論，讀者看這例證是一頭霧水，可見舉例失當。
    其實真要說起來，數學好的人並非倏地就直接算出答案，而是也會在腦中浮現電線杆，去做假設，很敏銳的看出其規律，只要有N支電線杆，自然有N-1顆樹。相較來講數學不好的人必要用繪圖的方式找出答案，你講那麼多，可惜的就是重點都沒提到，就是數學不好的人無法將電線杆轉化成數學公式，電線杆永遠是電線杆，所以數學不好的人不會用公式去運用。當然我從第一個範例來解讀，數學不好只是思考較慢，解題方向完全正確，而後與別人探討，才知道你要表達這結論，可見你完全沒表達清楚，就跟一向實驗只闡述結果，沒有加以解釋，沒人知道你實驗在做什麼。
    然而還有一個問題，請問你舉的範例樣本很不齊全，你可以鉅細靡遺寫出數學不好的思考方式，但是你沒有詮釋他為什麼會畫錯，還是算錯。我解讀就是你是找位智能障礙的學生做範本嗎？那已經不是數學不好的探討了，而是學生的智商問題。我怎樣都無法想像圖都畫出來了，為什麼都還會畫錯和算錯？除了學生有智能障礙外，沒有其他的解釋了。
    其實這問題可以用數對做譬喻：
    １，２，３，＿，５，６
    其實大家都知到裡面的數值是４。
　１，３，５，＿，９，１１
　這答案也是顯而易見的。答案是７。
    １，１，２，３，＿，８，１３
    至於這題就較少人可以解出來了，因為不是探討範圍我就不另行公布答案。我要表達的就是其實數學有些很難，有些很簡單，不論是難或是簡單的題目，都有一定的邏輯性，或是規律性，找出他的規律，就可以輕易的尋求答案。就以你的範例為例：當兩支電線杆時，中間只有一顆樹；當三支電線杆時，中間只有兩顆樹；以此類推，我們可推論當N支電線杆時，自然有N-1顆樹。用函數表示：
　　　　　　　輸入　　　輸出　
　　　　　　　　２　→　１
　　　　　　　　３　→　２
　　　　　　　　４　→　３
　　　　　　　　Ｎ　→　Ｎ－１
    就這樣，就算不懂數學，無法轉換成公式，也知道100支電線杆，必有99顆樹。以專業的數學來講，這函數本身是雙射函數，如果這題目無法簡易的推論，這不叫邏輯不好，什麼才叫邏輯不好？你想表達出數學不好並非邏輯不好，但是舉的實例很明顯表現出學生的邏輯是有很大的問題。

想像力的運用：

對數學好的人來說，那些數字、符號、公式在他們的腦中是有「代號性的意義」，就像看到紅燈要停止、看到綠燈要往前那樣自然的連結聯想。

你任何時間只要看到紅燈，不論是停車場出口、平交道、救護車上方，你都能直覺反應要停一下注意，或左右張望吧？這已經是你腦海中的啟動代號，不用去思考就能有下一步動作。


但對於數學不好的人來說，數字、符號、公式都只是「純符號」，更正確的說是一個「還未有明確說明的符號」，因此有無數種詮釋方式。
(編者按：完全沒有根據，皆是原作者自圓其說，詭辯。)
比方對他們來說，要去理解<等差級數>的公式，看到課本寫：


第n項數字，就是 = 第1項 + (n-1) x 公差

他們想：「第三十個項目，就是第一項，然後還要最後一項，嗯...，中間不是用加起來的，而公差是每個的差距，所以應該是要從第一項開始加公差，可是要加幾次呢？因為剛剛的種樹題目好像有一種是要 -1，一種是要 + 2，所以這裡會是什麼呢？」

想到這裡，拿出紙筆開始任意寫出1、3、5、7，開始想公差怎麼使用，然後看到公式，寫著 (n-1) x 公差，所以應該是剛剛種樹的那種感覺吧，是要 -1的，可是其他時候要減多少呢？而為什麼又要減一呢？...算了，趕快把公式抄起來，等等考試就套用就對了。
(編者按：數學好的人也是要花時間去了解公式的定義、推導，並且想辦法去理解，敢問數學不好的人是不是漏掉這些步驟呢？)

看到這裡，請問你有一點點理解了嗎？
(編者按：無法理解。)

對於數學好的人，公式裡的方法都是很輕易能夠理解的，腦海中很多公式，只要看到題目，就能馬上抽取過來使用，不論要算排列組合、圓錐曲線、幾何距離，都像是看到紅綠燈那樣簡單，差別只在於：

"難一點的題目就像是考駕照需要背比較多燈號罷了～"


但數學不好的人，從一開始到最後的思維都是複雜化的。
(編者按：為什麼思維很複雜化？)
當他們看到數學題目時：雞兔同籠，已知共有20頭，腳共有66隻，請問雞和兔子各有幾隻？（注釋1）

就像看到以下文字：雨水的窗框軌跡球尖銳柿餅公車速食店，天下刀片使用白鴿掛號無法眾多，中午首長食物綜合不分，若電力勞累鋼琴後面鋼鐵？
(編者按：數學題目本身就是非常淺白的白話文，自己可以看成像詩詞一樣，這不叫閱讀障礙什麼才叫閱讀障礙？)

真的是這樣！
不論符號或算式甚至數字本身，對他們來說都是單一需要去重新詮釋的東西，如果沒有詮釋成功，則只有兩個結果：

1. 無法繼續往下算。
2. 因為想像出某種推測而得到錯誤的答案。

    你這樣解釋問題很大，我引用一本書籍快思慢想來解釋：「有些環境的規律很容易發現，也容易應用。請想一想，你如何發展出踩剎車的習慣，當你學會轉彎時，你慢慢學會何時該放開踩油門的腳，什麼時候應該踩剎車。....學習這個技術的情境是很理智的，因為你立刻接受到回饋，每當你經過一個轉彎，你就接受到一個回饋訊息。」
   又有一段話是說：「專家通常需要很長時間的培養才出現，要在一個複雜的作業中變成專家是很慢的，因為這些領域噓要的不只是單一技術，而是很多小技術的綜合體。西洋棋是最好的例子，大師只要看一眼就立刻了解到了解棋下到什麼地步，但是這需要很多年的苦功。」
    我舉這本書和你的紅綠燈完全是相同的例子，但是卻有不同結論，更進一步來說你的論點完全錯誤。數學不好的為什麼數學不好？換個方向來想英文不好的人為什麼英文不好？作文不好的人為什麼作文不好？這很多例子只有一個結論，那就是疏於練習。好的鋼琴家碰到陌生的棋譜，只要看個幾眼，就可以彈出一手好曲子，好的數學家碰到陌生的數學運算，就可以找到方向性，進一步去解題。你們總是會想問一件事情，為什麼數學好的人就算看到陌生的題目，很快的就解題呢？數學不好的就不行？因為數學好的人平時就熱愛思考，或是運算，下很多功夫，你們數學不好的人就缺乏這方面的訓練，自然數學不好。同理可證，英文好的人平時就做很多英文聽力、閱讀訓練，作文好的人平時就很熱愛撰寫文章。所以數學不好的人講很多理由說自己數學不好，可是卻不肯下功夫，對我們數學好的人豈不是啼笑皆非？
    我來解釋為什麼你講的數學不好的人思維會很複雜化，但是進一步可以解讀成數學不好的人缺乏方向性，我舉個簡單的例子，假設你有電池和電燈炮，可是缺乏電線，你要拿什麼物質去接續，且燈炮最亮，有概念的人很快的就拿導體去接續，在各式各樣的導體中，銀線的效果最好。然而沒概念的人可能拿到各式各樣的絕緣體去嘗試，嘗試很久才知道要拿導體。所以數學不好的人並非思維是很複雜化，而是因為沒有解題的方向性，自然題目的拆解就很複雜化，相較之下，你找出你認為數學好的同學，去解奧林匹亞的題目，他的想法和答案相比也較為複雜化，甚至無法解題。
    再來就是雞兔同籠的例子，我看的你的舉例的感覺是明明就是閱讀方面有很大的障礙，卻又不承認自己閱讀障礙，就堂而皇之的說新詩、古文、散文都可以閱讀，為什麼數學題目不可能閱讀？我絕對不相信善於新詩散文都可以閱讀的人，可以把淺顯易懂的數學題目看成是天書？
    我個人認為無法解題在於缺乏資訊的掌握，一個善於詩詞歌賦的中文系學生，不可能看懂微積分的理論，相較之下一個善於數學的人也看不懂新詩散文在寫什麼？簡單來講是抓不到重點，進一步來說是缺乏該領域的結構性，所以我剛上研究所時候，也不知道研究所在做什麼？這是因為缺乏研究所的方向性和結構性。起初在不熟的領域中，即便是淺顯的白話文，只要充斥著專有名詞，自然就很難抓到重點、建立架構，所以比別人缺乏自然要比別人多下功夫，找出方向或結構去解題。
    我猜想數學不好的人不會解題，我個人認為他不懂題目要表達什麼，卻又參照課本的SOP去解讀，也看不懂，我個人覺的你要嘗試理解題目，並且和老師詢問、探討，問出你的問題是什麼，有的人不懂假設，有的人不會列式，或有些人不會解聯立，你是怎樣的問題要自己找出答案來，要是我解雞兔同籠，我會這樣解釋，因為我要求雞有幾隻，所以我要設未知數為X並求出X為多少，因為我要求兔有幾隻，所以我要設未知數為Y，並求出Y而多少。因為題目問說題目問說雞和兔總共有20頭，我就把原有X隻雞和Y隻兔做總和，列式為：X+Y=20，題目說腳共有66隻，又因為雞有兩隻腳，就把雞的各數乘2就總共有2*X隻腳，兔有四隻腳，就把兔子個數乘4就有4*Y隻腳，題目問腳的總合，就可以列式：2X+4Y=66。如果這樣解釋還不懂的話，真的要和老師探討，並找出你不懂的觀點在那裡了。我當課輔助教教導同學微積分的經驗也是這樣慢慢去引導，讓學生去了解，並發現學生問題在哪裡，如此而已。

數學不好的孩子很可憐，當學校上課老師教題目，他們從第一行看到第二行、第三行算式，都覺得非常的合理！超級順暢的！自己心裡面也覺得很開心，因為今天的課都聽的懂耶！
但是等到自己開始算就「無法重製那個過程」，也絕不會因為你算十遍而有所改善，頂多是把解題式整個背下來！
(編者按：學習的方法錯誤，以為填鴨式教學就可以學整個數學。)
這也是為什麼數學不好的人奮發圖強，考前猛K，隔天還能考個四、五十分甚至及格，但只要過一天你再重新考他，他就只剩下十分了，因為他都用死背的，而那十分還是他在考卷上把題目的內容全部「圖像化」後的結果！
(編者按：學習建立在盲目的訓練之上，自然沒有結果，你有思考為什麼你數學不好嗎？)

你問他一個方格棋盤上，第一格擺一粒米、第二格擺兩粒米、第三格擺四粒、第四格八粒，請問放滿64格需要幾粒？

他會真的開始一格一格「畫」！

任何題目他都會從1開始代入，而請問升高中或大學需要「理解」多少公式？
(編者按：所以說，你的結論就是才剛起步就想放棄，其實數學好的人也是要這樣做，只是做沒幾步就找出規律去解題，我可以解讀說你根本不想下功夫，以致於數學為什麼不好。)

至於數學好的人，即便到了中年，看到題目和公式，只要稍微回想一下，馬上又能連貫起來，這種人當了父母常常覺得自己小孩很混或一定是學校老師太混，於是送孩子去補習班，但即便找了全地球上最厲害的數學老師，結果還是一樣，不信的話坊間有許多<學好數學真容易>那類的書，你去買來教教你小孩，他頂多拿來當故事書看...。

那些補習費，你不如買小說、漫畫書給他當禮物；那些補習時間不如讓他去培養興趣、或跟朋友去玩，千萬不要擔心數學不好會怎麼樣，不少律師、或補習班教法律的講師都是過去數學爛到不行的人，他們的月收入常常比一般父母年收入還高，而且，很快樂。
(編者按：把教育當成一種投資的話，父母對孩童的教育投資也非常無知，就跟孩子有病，亂求偏方一樣，不懂得去找出正確方法。)

過去我以為，宇宙中說不定有另外一種數學模式，可以適用於數學不好的人，因為數學不好的人在其他方面並沒有任何不好啊！但後來推測並不會有這樣的東西，因為「數學不是宇宙間共通的語言」，而是「宇宙間共通的一種思維」，所以不是這樣想事情的人，就不會這樣想事情。

    這裡就是在探討數學不好的人為什麼努力了還是數學不好，你有沒有想說你的方法正不正確，我舉這南轅北轍的例子，有人要去楚國，李梁就說你往北方不是楚國的道路阿，他說他馬好，可是依然還不是往楚國的道路阿，他說他路費多...，數學不好的學習方法是否跟那位往處國人一樣呢？認為自己很努力練習，卻都沒有結果，想想看自己的方向是否錯誤？打LOL為什麼打個1000場，實力還在銅牌？玩象棋為什麼玩1000場，為什麼棋還下那麼爛？我曾經撰寫這篇文章，都會有解釋，自己好好思考吧。補教名師王耀有講過：「數學要學好，不是跳進題庫去游泳就好，自己要搞清楚觀念，自己觀念搞懂之後，然後再算很多題，而不是搞不懂觀念去算題目。」數學不好的人去仔細思考，是不是數學都搞不懂了，只想跳進題庫盲目的去算，就想把數學學好的呢？

以前看班上好學生喜歡「演練題目」，老師也說要多「解題」，甚至連數學普通的人都拿著課本反覆練習並說「課本的觀念就很夠了」！

我看著、
我模仿了、
我努力了、
我試著去用最精緻、完整的方式整理公式和筆記，
更曾在補習班老師很清楚的講解某一個題目後，
回家算了兩次，
把公式好好地理解了一番，
想說從今天開始我要奮發圖強！要當個數學可以拿均標的好學生！

結果下一次補習的小考，一模一樣的題目，我看了超開心！
心裡想：這就是用那些公式沒錯！
馬上拿起筆準備下筆，

但是，


那個公式是什麼呢？


我想了大概五分鐘，偷偷從書包翻出講義那一頁，瞄了第一行...

啊，對！就是這個麻！！


開始寫了大約半行的算式，然後又卡住了...


最後，我偷偷把這一題抄完，後面放棄了，下課跑去買可樂喝，
(編者按：所以你對數學的態度屬於半途而廢的類型，就整篇文章的表達感覺我對你的評價是這樣。)
那時，

心中的我某個部分就此死去。

    所以說，我該講的都講了，數學科目不像是其他科目一樣，只要靠著填鴨的方法，就可以把該科目學好，國文只要死被註釋，或者是把規定的課本範圍默寫就好，英文只要死背單字就有基本分，數學不行，就是要徹底的融會貫通才行，相較之下，其他科目只要填鴨填個好考試沒煩惱，其實整個問題是教育體制上的失敗，並非是自己的問題。如果教育不會教育我們思考，是很失敗的教育。當然國文要學得好不可能靠填鴨就好，英文要學得好也不可能靠填鴨就好，但是教育就是讓我們認為只要考好，填鴨填好就有對該科目融會貫通的錯覺，當然數學是無法靠填鴨拿分的。

這篇文章是我學校畢業後才寫的，以前國中、高中都有補習，我很清楚數學開始變差的時候是在小學四年級教算盤的時候，上課時看到算盤的1+1、1+2的打法覺得很簡單，於是開始都沒聽課，等到考試時題目都是「幾萬加減幾萬」的類型，我才發現我不會用算盤打「進位」，於是只好手動計算，結果分數很不理想，從此數學就再也沒有好過了。


幾年後一位親戚又專程買了算盤和題目本來教我算盤，當時我記得我學會了加法，很高興的想說乘除法也指日可待了！不過並沒有發展到那一天。


國、高中的補習有一個很奇特但普遍的現象，就是上課時老師講解題目的時候，你一邊看一邊都完全理解，非常非常地順暢。老師同一個題型應該會講解兩、三題，每次看每次都懂，然後回家會有相似的題目給大家算，下次上課前先小考或講解作業答案。回家算的時候可能會完全忘記老師講的算法，即便有把白板上的公式全部抄下來，回家看還是不懂，後來只好開始寫「白話註解在旁邊」，也就是其他同學可能是抄了六行的公式就得到答案，自己上課卻要抄很多老師講的白話，想說，只要把老師講的話都抄下來，應該就能複製「上課聽老師講的那種順暢感」吧，但結果不如預期，一方面是抄不完，一方面是不可能這樣數學就會變好，或腦子就都通了。


除了學校上課、補習、問一問班上功課好的人，至少到高二前都沒放棄數學，原因是以前有「全才迷思」，覺得要當好學生，不能有哪一科「非常不好」。雖然我數學不好，但不致於差到是全班最後一名的程度，所以覺得還是要想辦法扭轉劣勢，就能上前三志願。後來看到班上有一個同學，居然在數學課時完全戴上耳塞來念國文史地，絲毫不管老師講任何東西，問了對方動機，對方說數學一科的分數可以用其他科目來彌補，同樣時間花在數學上，最後聯考得到的分數不超過5分，但花在任何其他文科上，最後加總其來有幾十分，要考上大學這才是關鍵。


於是我才拋開數學，但又不全拋開，還是繼續補習，希望拿到基本分。


上了大學念微積分、線性代數這些科目，終於讓我覺得應該是無法改變這個事實吧，全班同學聽微積分助教超快速的解題對白，都頭頭是道的點頭認同，一題接一題，一個小時接一個小時，超大本的原文課本、超小字的斜體公式，然後用英文說明...，以前自己寫的白話註解都看不懂了，何況是數學用英文，但班上即便是倒數前五名都看的懂...，真的會讓人感到很無助。
(編者按：你明知道你數學不好，為什麼大學還會修這些科目？微積分也就算了，線性代數是理工科目才會修到的，這除了自己自謔之外，怨不得別人。)

這篇文章是後來回想的心得，而非勸說大家直接放棄數學。後來大學中遇到的兩位老師都不約而同地說到自己數學不好，但在其他地方很努力，這兩位後來都變成補教界名師，也是法律、政治、傳播界的專業人員（名人？），跟大家分享其中一位老師的觀念：


「在哪裡跌倒，就在哪裡躺下。」（就是在自己擅長的領域裡爭長短、盡情發揮，而不是執著於無法發揮的地方，跟自己鑽牛角尖，成就受限。）
(編者按：我唯一認同你的想法的地方，雖然數學很重要，但是不代表數學不好出路就很不好，加油吧！對自己的領域尊重才是最重要的。)

「輸在起跑點沒關係，要贏在終點。」（人生不是因為有上貴族小學、最多補習、前三志願而讓人功成名就，而是你不斷學習、發揮所長，最後在工作、人生、家庭得到開心的結果。）
(編者按：說得很好，但是教育理念就是要孩子贏在起跑點上，但是我看到很多人都死在終點。)

意識到自己在做什麼，做出選擇，然後自己負責。
(編者按：所有文章中，我最喜歡的一段話！)

    這總結算是不錯的，這應該是探討教育問題了，我這篇文章有提到過，至少數學不好的人在就業上不是魯蛇(loser)，他們可以發威自己的專長，找出自己的價值。

是的，您的意見相當扎實，不過有幾點關鍵我們看一下：

1. 您教的孩子是不是我們討論到的這種「數學不好的人」？
有些人是數學很好，但是過去腦子還沒有適應數學課程或內容，
比方愛因斯坦，全世界數學最好的人之一，小時候數學成績不好～
後來卻在該領域裡面有所貢獻。
(編者按：你不懂愛因斯坦，他是擁有注意力缺失症(ADD)的人，詳情請翻閱這本書籍，他是從小就非常天才，只是無法反映在教育身上，愛迪生也是有這問題。所以不能拿正常人跟有ADD做比較阿！)
也就是說「數學不好的人」，跟「一開始數學沒有學好的人」是兩回事，
我相信可以用國文的教學法讓某些孩子提昇學習能力，
但仍有許多人是無法靠這種方式的，原因在於：他們不知道自己在幹嘛。

2. 抽象概念。
相信有很多人在抽象文字、形容詞運用、情境表達上面有許多創意，
不過數學算式並非抽象概念，而是腦部思維結構，
有許多語文運用很好但數學還是不好的人存在，
我有一個這樣的朋友，不只中文古文、英文古文，
他也學拉丁文、義大利文、法文、西班牙文等等，
而他看的高等數學理論書籍是用英文寫的，
他說國外的數學教科書裡面能講述許多邏輯的原理，數學思維的「方式」，
他看的懂，這些方式他說的確是該拿來「教育台灣的孩子」，邊看他也樂在其中，
但是他「無法去演繹」。

也就是他仍舊是一個數學不好的人，他能看、能理解，
但是他無法像數學好的人，讓整個思維去感應、適應那種架構，
而他是台大財經系，他當年數學考的好，但是他自己知道他數學不好，
因為他理解那並非是真的其他理工人員的那種好，而是自己其他方式的理解。

最妙的是，這位仁兄的父親、母親數學非常好，早期電腦程式還沒有普及的時候，
銀行裡面有一些數學問題還是什麼帳務數字處理，都是請教他的母親去做，
到了四十歲，他父母只要拿起高中課本，「瞬間」就能理解（兩分鐘以內），
但我這位朋友拿起高中課本，可能要研究個半天、一天、一星期，才能去「重新起步」，因此是有差異的。


3. 我整篇文章強調的是最後一句：思維差異
說什麼語文跟數學有關的人並非是我啊～是網路上、市面上的許多人，他們才是真正窄化了語文能力，畢竟他們要去形容自身感受、自我問題，甚至簡單形容一天的經歷都很困難，因此他們才會說出「數學不好是語文不好」這樣的言論。
您當然不是，您是中文系的，對中文運用、語意學這些都是最起碼的底子，當然知道我們討論的不是他們那些點到為止的結果論，而是必須去更縝密的思考當中的含意。

受教了。

    我來做個總結，你的論點很多失敗的問題，一來是缺乏根據去佐證你的觀點，所以你的觀點完全沒有可看性，再來就是我可以用大量的引言去推翻你的觀點，除了論點很失敗之外，我都可以輕易推翻了。至少我碩士畢業的學生，好好思考一下如何去撰寫文章的，並非是碩士畢業講出來的話都是金玉良言，而是他要講出來的論點都要有參考資料去佐證，講出來的話才有可看性，就跟我推翻你的觀點一樣，一定要有書本去佐證。其實我寫這篇文章，也是花費很多時間去溫習、翻閱很多書本，去建立我自己的觀點，讓自己的觀念更有效力。

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補充：
    數學真的很難，又很殘酷，相較於其他科目，其他科目很難，但是很溫和。我在研究所或是大學時候，也是會遇到相關非常困難的數學，這時就跟你們遇到的數學問題差不多，想很久都解不開，或者是不知如何下手，但是這領域是我們選的，我們就要有義務去做練習，並非像你們可以可以放棄，換跑道。如果自己的專業隨便就放棄的話，有哪的領域可以走下去？所以總是要找方法去克服，像是去圖書館參閱其他教材，嘗試去理解，想辦法問教授，跟教授討論自己的問題再哪裡(當然自己要做好功課，否則去也白去，教授也不清楚你問題在哪？)等之類的，想辦法去搞懂，每個領域都有每個領域困難的地方，決定好之後就要有所覺悟，去做吧，成功之後那東西就是你的了。

舉個例子好了，當我們要算∫ (secθ)^3 dθ，時候，你們要怎麼算？

∫ (secθ)^3 dθ= ∫ (secθ) (sec θ)^2 dθ
　　　　　　 = (secθ) (tanθ) - ∫ (tanθ) (secθ)' dθ
　　　　　　 = (secθ) (tanθ) - ∫ (tanθ) (secθtanθ) dθ
　　　　　　 = (secθ) (tanθ) - ∫(secθ)^3 - secθ dθ
故
2∫ (secθ)^3 dθ= (secθ) (tanθ) +∫secθ dθ
　　　　　　　 = (secθ) (tanθ) + ln |secθ+ tanθ| + C'
所以
　∫ (secθ)^3 dθ = (1/2) secθtanθ +(1/2) ln |secθ+ tanθ| + C      


這是一套微積分的SOP算式，請問你們搞懂了嗎？其實要理解這題型，自己要做一些功課：
    搞懂三角函數
    搞懂積分原理
    搞懂分佈積分
    搞懂∫ (secθ)^2 dθ 的答案是 tanθ
    搞懂∫ secθdθ的答案是ln |secθ+ tanθ|
 
    為什麼數學很難，卻又很殘酷？因為數學本質是直向性思考的，一個環節不懂，一個觀念不懂往往就看不懂過程怎麼運算，不論數學好壞的人都會遇到這些挫折，差別在於自己如何去學習，比別人什麼都不懂，就要比別人更用心去學習，這不是講該領域不熟的人應盡的義務，而是面對該領域很擅長的人需要的責任，很多傑出的人都有這樣認知，才會有今天的成就，所以不論怎樣的人，做什麼就要像什麼，就是這樣。

    藉此分析數學優秀、普通、不好的人的觀點好了。
    同一個題型，會有哪些觀念呢？
    
數學非常好的人：∫ (secθ)^3 dθ= ∫ (secθ) (sec θ)^2 dθ
不用懷疑，數學非常好的人筆記就只要記錄這樣就好了，他只要知道把∫ (secθ)^3 dθ= ∫ (secθ) (sec θ)^2 dθ，記錄下來，他很清楚再來就是分佈積分了，不需要額外作記錄，只是增加記憶的困難度而已，因為自己的觀念、底子都很熟悉，記錄方面簡單的記錄會有助於自己的思考，其他就是靠自己的曾經下過的功夫去演算就好，我當助教就是這種水準。

數學普通的人：公式照抄一變，看一看，就瞭解了，自己在演算時候就有點困難，自己去找出自己哪裡不懂，去解出來。(我第一次學習就這樣學，畢竟是初學者，要下點功夫，只記錄一些些風險很大。)
    
數學不好的人：觀念都很不熟悉，抄了還是不懂，鴨子聽雷，就是原發文者這種水準，我就不加以贅述。

我去比較其他領域，就以生物中了解細胞結構為例好了：

    你只要下功夫，去做筆記如下：
Nucleus:material consisting of DNA and proteins.
Plasma membrane: membrane enclosing the cell
Ribosomes: make proteins.
Golgi apparatus: modification, sorting, secretion of cell products.
Lysosome: digestive organelle.
Mitochondrion: Most ATP is generated
Rough endoplasmic reticulum(RER):network of membranous sacs and tubes.
    你可以不懂Ribosomes在做什麼，但是你可以學習Nucleus在做什麼？你不懂Lysosome，不代表你什麼都不懂。因為是屬於橫向思考的，和數學的縱向思考不同，不會一個環節不懂，你就不了解大部分的課程內容。所以生物很難，我只能說他很溫和，數學很難，我會說他很殘酷。